Jensen 不等式

定義

當函數有這樣的性質

$$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$$

那我們將之稱為凸函數 (convex function)。

定理：擴增 n

f 是凸函數，那

$$f({\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2+...+{\lambda }_n{x}_n)\le {\lambda }_{1}f(x_1)+...+{\lambda }_{n}f(x_n)$$

其中 ${\lambda }_i\in [1,0]\mathrm{\forall }i$，$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1$， $n\ge 2$。

證明

對 n 使用歸納法：

• $n=2$: ok
• $n>2$

令 $\lambda =\sum _{i=1}^{n-1}{\lambda }_i$

$$f({\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2+...+{\lambda }_n{x}_n)\le f(\lambda (\frac{{\lambda }_1}{\lambda }{x}_1+\frac{{\lambda }_2}{\lambda }{x}_2+...+\frac{{\lambda }_{n-1}}{\lambda }{x}_{n-1})+{\lambda }_n{x}_n)\le \lambda f(...)+{\lambda }_{n}f(x_n)$$

然後再套 Jensen n-1 的不等式就得証了。

定理：凸函數

$f$是二次可導函數，則：

$f$是凸函數 and only if $f^{″}(x)>0$

NOTE

TODO

習題

1. 用 Jensen 證明平均不等式。
2. 證明：歐幾里得空間的三角形 $\mathrm{\Delta }ABC$ 滿足：$\sin \mathrm{\angle }A+\sin \mathrm{\angle }B+\sin \mathrm{\angle }C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$
3. x, y, z > 0，證明：$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\le \frac{3}{4}$
4. x, y, z > 0，證明：$\frac{x}{\sqrt{y+z}}+\frac{y}{\sqrt{z+x}}+\frac{z}{\sqrt{x+y}}\ge \sqrt{\frac{3}{2}(x+y+z)}$

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14dc447-從 gitbook-math-note 搬入數學筆記 (#61)